Множення многочлена на многочлен - 7 клас

Множення одночлена на многочлен - 7 клас

Процент от числа

Быстрое возведение в квадрат

Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5. Умножьте первую цифру саму на себя + 1, а в конце допишите 25. Вот и все!

Умножение на 9

Умножение на 5

Разделите число на 2. Если в результате получилось целое число, припишите 0 в конце. Если нет, не обращайте внимание на запятую и в конце добавьте 5.

Умножение на 11

Умножение на 4

Хитрость в том, что нужно просто умножить на 2, а затем опять умножить на 2.

Источник: https://www.adme.ru/zhizn-nauka/10-prostyh-matematicheskih-priemov-1029960/#image1133510 © AdMe.ru

Цікаві факти про математику  Який математик точно передбачив день своєї смерті за допомогою арифметичної прогресії? Англійський математик Абрахам де Муавр в літньому віці одного разу виявив, що тривалість його сну зростає на 15 хвилин в день. Склавши арифметичну прогресію, він визначив дату, коли вона досягла б 24 годин — 27 листопада 1754. У цей день він і помер. Серед усіх фігур з однаковим периметром, у кола буде найбільша площа. Але серед усіх фігур з однаковою площею, у кола буде самий маленький периметр. У математиці існують: теорія ігор, теорія кіс, і теорія вузлів. Торт можна розділиті 3 розрізами ножа на 8 рівних частин. Причому, є 2 способи. Нуль не можна написати римськими цифрами. Знак рівності «=» вперше застосував Роберт Рекорд в 1557 році. Сума чисел від 1 до 100 — 5050. З 1995-го року в Тайбеї, на Тайвані, жителям дозволено видаляти цифру чотири, так як на китайській мові ця цифра звучить як «смерть». У багатьох будівлях відсутній четвертий поверх. Мить — це одиниця часу, яка триває приблизно соту долю секунди. Вважається, що 13 стало нещасливим число через Таємну Вечерю, на якій були присутні 13 осіб, включаючи Ісуса. Тринадцятим був Іуда Іскаріот. Чарльз Лутвидж Доджсон — маловідомий британський математик, який присвятив більшу частину свого життя логіці. Незважаючи на це, він всесвітньо відомий письменник під псевдонімом Льюїс Керролл. Першою жінкою-математиком вважається гречанка Гіпатія, що жила в єгипетській Олександрії в IV-V століттях н.е. Число 18, є єдиним (крім нуля) числом, сума цифр якого в 2 рази менше нього самого. Американський студент Джордж Данциг запізнився на заняття, через що прийняв записані на дошці рівняння за домашнє завдання. Насилу, але він з ними впорався. Як з’ясувалося, це були дві «нерозв’язані» проблеми в статистиці, над вирішенням яких вчені билися багато років. У 1992 році австралійські однодумці об’єдналися заради виграшу в лотерею. На кону було 27 млн. дол. Кількість комбінацій 6 з 44, становило трохи більше 7 мільйонів, при вартості лотерейного квитка в 1 долар. Ці однодумці створили фонд, в який кожен з 2500 чоловік вклав по 3 тисячі доларів. Результат — виграш і повернення 9000 кожному. Вперше про математику Софія Ковалевська дізналася в дитинстві, коли замість шпалер на стіни її кімнати наклеїли листи з лекціями одного математика про диференціальне і інтегральне числення. Заради науки вона оформила фіктивний шлюб. У Росії жінкам заборонялося займатися наукою. Її батько був проти виїзду дочки закордон. Єдиним способом було заміжжя. Але пізніше фіктивний шлюб став фактичним і Софія навіть народила дочку. Існує багато притч про те, як одна людина пропонує іншій розплатитися з нею за послугу таким чином: на першому клітку шахматної дошки той покладе одне рисове зернятко, на другій — два і так далі: на кожну наступну клітину вдвічі більше, ніж на попередню. В результаті той, хто розплачується таким чином, неодмінно розоряється. Це не дивно: підраховано, що загальна вага рису складе понад 460 мільярдів тонн. Якщо помножити ваш вік на 7, потім помножити на 1443, то результатом буде ваш вік написаний три рази поспіль. Релігійні євреї намагаються уникати християнської символіки і взагалі знаків , схожих на хрест. Тому учні деяких ізраїльських шкіл замість знака «+» пишуть знак, що повторює перевернуту букву «т» . Число Пі було вперше обчислено індійським математиком Будхайяна в VI столітті нашої ери. Існує думка, що Альфред Нобель не включив математику в список дисциплін своєї премії через те, що його дружина зрадила йому з математиком. Насправді Нобель ніколи не був одружений. Справжня причина ігнорування математики Нобелем невідома, є тільки припущення. Наприклад, на той момент вже існувала премія з математики від шведського короля. Інша версія  — математики не роблять важливих винаходів для людства, тому що ця наука має чисто теоретичний характер. На Русі за старих часів використовувалися як одиниці виміру — відро (близько 12 л), штоф (десята частина відра). У США, Англії та інших країнах використовуються барель ( близько 159 л), галон (близько 4 л), бушель (близько 36 л), пінта (від 470 до 568 кубічних сантиметрів).

Джерело: http://dovidka.biz.ua/tsikavi-fakti-pro-matematiku/ Довідник цікавих фактів та корисних знань © dovidka.biz.ua

Суміжні й вертикальні кути, паралельні й перпендикулярні прямі

Суміжні й вертикальні кути

Якщо прямі а і В перетинаються в точці С, то С є а і С е Ь, і немає ніякої іншої точки, крім С, яка належала б обом прямим одночасно.

Дві прямі, що перетинаються, у точці перетину (мал. 21), як при вершині (Q, утворюють 4 кути, сторонами яких служать півпрямі прямих (а і Ь), що перетинаються.

Розглянемо ці кути. Прямі АВ і CD перетинаються в точці 0, утворюючи пару гострих кутів (ZC0A і ZB0D) і пару тупих кутів {/.СОВ і ZAOD) (мал. 23). Кути кожної пари називаються вертикальними. Вертикальні кути рівні між собою.

Означення. Вертикальні кути — це пара кутів, що мають спільну

Вершину, а сторони одного кута є доповняльними шапрямимн сторін другого кута.

На мал. 23 /СОА “ Z. BOD і /СОВ “ ZAOD, оскільки в них спільна вершина О; а ОВ і СО, АО і 0D — доповняльні півпрямі прямих АВ і CD.

У будь-яких двох прямих, що перетинаються, утворюється по дві пари вертикальних кутів, які можуть бути:

—  парою тупих кутів і парою гострих кутів (мал. 23);

—  прямими кутами (мал. 22).

Розглянемо ще раз мал. 22 і 23.

За аксіомою 5 сума кутів {/.СОВ і ZBOD; /BOD і /АОЕУ, ZAOD і /СОА /СОА і /.СОВ) дорівнює розгорнутому куту (ZAOB або /.COD), тобто 180е. Пари таких кутів є суміжними кутами.

При перетині двох прямих утворюється 4 пари суміжних кутів:

/СОВ I /BOD і 180е; /BOD | /AOD Щ180*;

ZAOD + /СОА -180е; /СОА + /СОВ « 180е.

Означення. Суміжні кути — це пара кутів, в яких одна сгорова

Спільна, а дві інші є доповняльними нівпрямими.

Суміжні кути утворюються тоді, коли з вершин розгорнутого кута до однієї півплощі проведено промінь.

У пари суміжних кутів кути бувають:

—  гострий і тупий (мал. 24, а і'24, в);

—  прямі (мал. 24, б).

1.7. Бісектриса кута

Означення. Бісектрисою кута називається промінь, який виходить із вершини кута, проходить між його сторонами і ділить кут пополам. Бісектрису кута можна побудувати за градусною мірою кута за допомогою транспортира. Для цього градусну міру заданого кута ділять

Пополам і на одній із сторін від вершини відкладають градусну міру половинного кута. Друга сторона такого кута буде бісектрисою заданого кута.

Щоб побудувати бісектрису кута, не обчислюючи його градусну міру, треба використати циркуль (див. мал. 25):

1.3  вершини кута будь-яким радіусом провести дугу кола, щоб вона перетнула сторони кута.

2.3  кожної точки перетину дуги і сторін кута іншим радіусом провести дуги кіл. Точка перетину дуг у площині кута належить бісектрисі кута.

3. Сполучимо одержану точку і вершину заданого кута променем, який і буде бісектрисою Заданого кута.

Прямий і розгорнутий кути з бісектрисою показані на мал. 26.

Якщо заданий кут має градусну міру 60е, то два побудованих за допомогою бісектриси кути — по 30е, оскільки 60°: 2 = 30°.

Розгорнутий кут розбивається бісектрисою на два прямих кути (180°: 2 = 90°), будь-який тупий кут розбивається бісектрисою на два гострих кути.

Паралельні й перпендикулярні прямі

Аксіома 9

Означення. Дві прямі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються.

А „„ w н^,,аралып-"» прямій ь, оскільки вони не перегнуться, скільки 6 ми IX не продовжувала Для позначення паралельності використовується знак ||. Запис а||6 читається як «пряма а паралельна прямій Я

Основна властивість паралельних прямих: якщо дві прямі (а і с) паралельні третій прямій (Ь), то вони паралельні між собою (а|с).

Якщо ми візьмемо точку А і пряму с, то через точку А можна провести нескінченну множину прямих, але тільки одна з них буде паралельна с.

Аксіома 9 (властивість паралельних прямих). Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше як одну пряму, паралельну даній.

Якщо пряма (с) перетинає одну з паралельних прямих (а), то вона повинна перетнути і другу паралельну пряму (Ь).

Означення. Дві прямі, які перетинаються і в точці перетину утворюють прямий кут, називаються перпендикулярними прямими.

Перпендикулярні прямі (вертикальна і горизонтальна) утворюють осі координат на площині. У точці перетину перпендикулярних прямих усі кути прямі. Перпендикулярність прямих можна позначити знаком перпендикулярності JL. Так, запис: a Lb питається як «пряма а перпендикулярна до прямої Ьь.

Через кожну точку прямої можна провести до цієї прямої перпендикулярну пряму.

Означення. Перпендикуляром до даної прямої називається від. різок прямої, перпендикулярної до даної прямої, який мас од. ним Із своїх кінців їхню точку перетину. Цей кінець відрізка Що зивається основою перпендикуляра.

Через дану точку прямої можна провести тільки один перпендикуляр, решта прямих, які перетинаються з даною прямою, будуть похилими до цієї прямої.

1.9. Теорема 8 її доведення

Аксіома — це твердження, яке приймають без доведення.

Теорема — це твердження, яке доводять. При доведенні використовуються як аксіоми, так і раніше доведені теореми.

Формулювання теореми містить умову (це те, що дано) і висновок (те, що доводиться в теоремі).

Означення. Теорема — це твердження, у правильності якого впевнюються за допомогою доведення.

Сформулюємо першу теорему.

Теорема 1 (про перетин сторін трикутника прямою). Якщо пряма, яка не проходить через жодну з вершин трикутника, перетинає одну з його сторін, то вона перетинає тільки одну з двох інших сторін.

Ми повинні довести, що пряма, яка не проходить через вершину трикутника, проходить через дві його сторони, але не перетинає третю сторону (мал. ЗО).

До початку доведення теореми нам треба зробити малюнки геометричних фігур, про які йде мова в умові теореми, пов’язавши їх розміщення або взаєморозміщення з висновком теореми. Малюнок може бути бата* товаріантним, за необхідністю виконують декілька малюнків до одні# теореми.

Доведення. Доведення теореми основане на аксіомі 4 (властивій розміщення точок відносно прямої на площині).

Пряма (а) розбиває площу трикутника на дві півплощини, |Ш| якщо вона не проходить через вершину трикутника, то одна з вершин знаходиться в одній ггівплощині, а дві інші — в другій півплощині.

Сторона трикутника, яка сполучає дві вершини водній пі «площині, не може перетинати пряму в площині трикутника. Такий перетин можливий за таких умов:

1)  сторону трикутника продовжити і продовжити пряму, тоді перетин можливий за площинок) трикутника;

2)  якщо пряма не паралельна третій стороні (при паралельності прямої одній із сторін, вона за означенням паралельних прямих не може перетнутися з третьою стороною трикутника).

Обидві ці умови не відповідають умові теореми, оскільки пряма за умовою розглядається лише в площині трикутника (нас цікавлять сторони трикутника, які обмежують цю площину, отже, належать площині трикутника).

Теорема доведена.

Висновки теореми

1.  Будь-яка пряма, яка проходить через площину трикутника, але не через його вершину, перетинає тільки дві сторони цього трикутника.

2.  Відрізки, розміщені в одній півплощині, не перетинають пряму, що ділить площину на дві ггївплощини.

Ці висновки можна використати при доведенні інших теорем і при розв’язуванні задач.

Ми розглянули пряме доведення теореми. Існує ще спосіб доведення теоремі що застосовується також при розв’язуванні задач на доведення, такий спосіб називається доведенням від супротивного.

Означення. Доведення від супротивного полягає в тому, що спочатку ми робимо припущення, протилежне висновку теореми (задачі). Із такого оберненого твердження робимо висновок, який суперечить умові теореми (задачі). Таке доведення відкидається, а висновок теореми (пряме твердження) пргёмастъся як правильний.

Отже, якщо доведення від супротивного правильне, то теорема в частині висновку неправильна (не доводиться).

Розглядаючи суміжні кути у розділі 1.6, ми ознайомилися з теоремою 2.

Теорема 2 (про суміжні кути). Сума суміжних кутів дорівнює 180е.

Д о в е д е н н я. Доведення цієї теореми зводиться до аксіоми 5 (властивість вимірювання кутів). На основі цієї аксіоми ми стверджуємо, що Розгорнутий кут має градусну міру 180

Наступним твердженням цієї аксіоми служить визначення градусної міри кута, як суми градусних мір кутів, на які він розбивається.

Доведення теореми основане на побудові (використовується визначення суміжних кутів). Суміжні кути утворюються тоді, коли між сторонами розгорнутого кута проходить промінь з його вершини.

Висновки теореми

1.  Якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути також рівні.

2.  Якщо кут не розгорнутий, то його градусна міра менша від 180е.

3.  Кут, суміжний з прямим кутом, також прямий.

Теорема 3 (про рівність вертикальних кутів). Вертикальні кути рівні.

Доведення. Ця теорема доводиться на основі теореми 2 і ї| висновків.

При перетині двох прямих розглядають пари суміжних кутів при кожній з прямих (пряма служить сторонами розгорнутого кута). Якщо у двох пар суміжних кутів є по одному рівному куту, то й другі кути теж рівні. Для доведення з кожної пари береться один кут, спільний і для однієї пари суміжних кутів, і для другої (мал. 23, розділ 1.6).

Теорема 4 (про перпендикуляр з точки на прямій). Через кожну точку прямої можна провести перпендикулярну до неї пряму, і тільки одну.

Доведення. Теорема доводиться методом від супротивного. Припустимо, що з однієї точки до прямої проведено два перпендикуляри, що не суміщаються.  1

За означенням перпендикулярних прямих кут між перпендикуляром і прямою дорівнює 90°, отже, і суміжний з ним кут теж 90е (за теоремою 2).

Виходить, ми зробили неправильне припущення, оскільки два перпендикуляри повинні мати однаковий кут нахилу до прямої (90°), тобто суміститись. Оскільки такого не трапилося і в точці з прямою перетинаються дві видимі прямі, то кут нахилу в другої прямої, щоб вона була видимою, повинен бути меншим за 90°, тобто друга пряма — похила, а не перпендикуляр. Наше припущення помилкове, а висновок теореми правильний.

 Одночлен і його стандартний вигляд

Теорія:

Добуток чисел, змінних та їх степенів називається одночленом.

Вже знайомі нам одночлени::

x⋅x=x2	a⋅a⋅b=a2b	3x⋅5x=(3⋅5)⋅(x⋅x)=15x2

 

Вирази 6⋅a⋅y; 0,25x3; abbc; 8,43; 16c⋅(−12)d; 38x2y також є одночленами.
При записі одночленів між числами та змінними знак множення не ставиться

 (6⋅a⋅y =6ay).

 

Одночленом також вважається: 
— одна змінна, наприклад, x, бо x=1⋅x;

— число, наприклад, 3, бо 3=3⋅x0 (одне число також є одночленом).

 

Деякі одночлени можна спростити. 
Спростимо одночлен 6xy2⋅(−2)x3y, використовуючи властивість множення степенів:

am⋅an=am+n

6xy2⋅(−2)x3y = 6⋅(−2)xx3y2y=−12x4y3

(числа перемножуються, а степеня з однаковими основами додаються).

Стандартний вигляд одночлена

Якщо в одночлені першим записаний числовий множник, а добуток однакових степенів змінних записано у вигляді одного степеня, то такий вигляд одночлена називають стандартним виглядом.

Одночлен записаний у стандартному вигляді, якщо: 
— добуток однакових змінних записано у вигляді степеня; 
— числовий множник або коефіцієнт одночлена записаний першим множником в одночлені. 
Стандартним виглядом одночлена 10⋅12abbb є 10⋅12abbb=5⋅2⋅12ab3=5ab3.

Числовий множник одночлена, записаного в стандартному вигляді, називається коефіцієнтом одночлена.

(Коефіцієнти перемножуються між собою, змінні — між собою.) 
Коефіцієнт одночлена 5ab3 дорівнює 5, коефіцієнт одночлена−12x4y3 дорівнює –12.

Коефіцієнти 1 і –1 зазвичай не записуються.

1a2y=a2y

−1x3=−x3

Степенем одночлена називається сума показників степенів усіх його змінних.

Щоб визначити степінь одночлена, потрібно додати показники ступенів усіх змінних (літер).

−12x4y3 — одночлен сьомого степеня (4+3=7);

6a — одночленом першого степеня  (змінна a першого ступеня);

7 — одночленом нульового степеня.

 

Подібні одночлени

Одночлени, у яких добутки змінних рівні, хоча їх порядок може відрізнятися, називаються подібними одночленами.

Подібними одночленами є  і ;  і ;  і ; 5 і −3;  і .

Подібними одночленами не є  і .

 

Якщо в подібних одночленів рівні коефіцієнти, вони називаються рівними (однаковими) одночленами.

У цьому можна переконатися, записавши одночлени в стандартному вигляді. 
З одночленів 8xy3;xy3;8y3x;2⋅4xyyy;8x3y рівними є 8xy3;8y3x;2⋅4xyyy.

У цьому можна переконатися, якщо записати всі одночлени в стандартному вигляді: 

8xy3;xy3;8y3x;2⋅4xyyy;8x3y => 8xy3;xy3;8xy3;8xy3;8x3y

 

Якщо в подібних одночленів коефіцієнти є протилежними числами, одночлени називаютьсяпротилежними.

З одночленів 3ac;−9ab;−3ac;abc;9ba протилежними є 3acи−3ac;9baи−9ba.